Вправи для повторення розділу 4: 28

28. Довжина сторони правильного шестикутника дорівнює а. У шестикутник вписано коло. Знайдіть довжину дуги кола між точками його дотику до сусідніх сторін шестикутника.

Коло, вписане в правильний шестикутник АВСDЕF, дотикається до нього в точках, що є серединами сторін шестикутника. Знайдемо

довжину дуги КР.

∆OKP — рівнобедрений, ОК = ОР = r = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\angle$KBP = $\frac{180°(6-2)}{6}$ = 120°.

За теоремою косинусів KP² = KB² + PB² – 2KB • PB • cos 120° = ($\frac{a}{2}$)² + ($\frac{a}{2}$)² + 2 • ($\frac{a}{2}$)( $\frac{a}{2}$) • $\frac{1}{2}$ = $\frac{{2a}^2}{4}$ + $\frac{a^2}{4}$ = $\frac{{3a}^2}{4}$; KP = $\sqrt{\frac{{3a}^2}{4}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Отже, KP = OK = OP, ∆OKP – рівносторонній, тому $\angle$КОР = 60°. Тоді

$l_{60}$ = $\frac{\pi r}{180}$ • 60 = $\frac{\pi •a\sqrt{3}}{2•3}$ = $\frac{\pi a\sqrt{3}}{6}$.

Відповідь: $\frac{\sqrt{3}\pi a}{6}$.