Вправи для повторення розділу 4: 15

15. Знайдіть відношення площ квадрата, правильного трикутника і правильного шестикутника, вписаних в одне й те саме коло.

Нехай R – радіус кола. Тоді R = $\frac{a_3}{\sqrt{3}}$, звідки а₃ = R$\sqrt{3}$.

R = $\frac{a_4}{\sqrt{2}}$, звідки a₄ = $\sqrt{2}$R; a₆ = R.

S₃ = $\frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{{\left(R\sqrt{3}\right)}^2•\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{4}$; S₄ = $a_4^2$ = ($\sqrt{2}$R)² = 2R²;

S₆ = 6 • S_∆ = $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$ • 6 = $\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}$;

S₄ : S₃ : S₆ = 2R² : $\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{4}$ : $\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}$ = 8 : 3$\sqrt{3}$ : 6$\sqrt{3}$.

Відповідь: 8 : 3$\sqrt{3}$ : 6$\sqrt{3}$.