Вправи для повторення розділу 4: 12

12. Знайдіть радіуси вписаного у правильний шестикутник та описаного навколо нього кіл, якщо їх сума дорівнює 8$\sqrt{3}$ см.

r = $\frac{a_6\sqrt{3}}{2}$, R = a₆. За умовою r + R = 8$\sqrt{3}$ см.

$\frac{a_6\sqrt{3}}{2}$ + a₆ = 8$\sqrt{3}$; a₆$\sqrt{3}$ + 2a₆ = 16$\sqrt{3}$;

a₆($\sqrt{3}$ + 2) = 16$\sqrt{3}$; a₆ = $\frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}$.

Отже, R = $\frac{16\sqrt{3}(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$ = $\frac{16\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3}$ = 32$\sqrt{3}$ – 48 (см).

r = $\frac{16\sqrt{3}•\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)•2}$ = $\frac{48(2-\sqrt{3})}{2(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$ = $\frac{24(2-\sqrt{3})}{4-3}$ = 48 – 24$\sqrt{3}$ (см).

Відповідь: R = (32$\sqrt{3}$ – 48) см; r = (48 – 24$\sqrt{3}$) см.