Вправи для повторення розділу 4: 10

10. Радіус кола, вписаного у правильний шестикутник, дорівнює

4$\sqrt{3}$ см. Знайдіть меншу діагональ шестикутника.

ABCDEF – правильний шестикутник, АС – його менша діагональ. Оскільки r = a₆ • $\frac{\sqrt{3}}{2}$, то a₆ = $\frac{2r}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2•4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 8 (см).

∠АВС = $\frac{180°(6-2)}{6}$ = $\frac{180°•4}{6}$ = 120°.

З ∆АВС за теоремою косинусів:

AC² = AB² + BC² – 2AB • BC • cos 120° = 8² + 8² – 2 • 8 • 8 • (–$\frac{1}{2}$) = 64 + 64 + 64 = 3 • 64;

AC = $\sqrt{3•64}$ = 8$\sqrt{3}$ (см).

Відповідь: 8$\sqrt{3}$ см.