Вправи для повторення розділу 4: 14

14. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є для одного з

них стороною вписаного квадрата, а для другого – стороною

правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо радіус меншого з них дорівнює r (розгляньте два можливих випадки розташування кіл).

Можливі два випадки розміщення кіл: їх центри можуть лежати по

різні боки або по один бік від спільної хорди.

І випадок. За умовою О₁А = r, CD = 2CE; ∆O₁EC – рівнобедрений,

∠O₁EC = 90°, CE = r • $\frac{\sqrt{2}}{2}$, CD = r$\sqrt{2}$. Позначимо CD = a = r$\sqrt{2}$,

O₁E = $\frac{a}{2}$ = $\frac{\mathrm{CD}}{2}$ = r • $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

У ∆CEO₂ ∠CEO₂ = 90°, EO₂ = CE : tg 30° = $\frac{\mathrm{CD}}{2}$ • $\sqrt{3}$ = $\frac{r\sqrt{2}}{2}$ $\sqrt{3}$ = $\frac{r\sqrt{6}}{2}$.

O₁O₂ = $\frac{r\sqrt{6}}{2}$ + $\frac{r\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{r(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$.

ІІ випадок. О₁О₂ = ЕО₂ – ЕО₁, СD = r$\sqrt{2}$, EO₁ = $\frac{r\sqrt{2}}{2}$, EO₂ = $\frac{r\sqrt{6}}{2}$,

O₁O₂ = $\frac{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.

Відповідь: $\frac{r(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$ або $\frac{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.