Вправи для повторення розділу 4: 18

18. Доведіть, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин вписаного в нього квадрата є величиною сталою. Знайдіть цю величину, якщо радіус кола дорівнює R.

АВСD — квадрат, вписаний в коло радіуса R. Р — довільна точки кола, яку з’єднано відрізками з вершинами квадрата. Розглянемо трикутники, які при цьому утворилися.

У ∆ВРD $\angle$Р = 90° як вписаний, що спирається на діаметр. Тоді за теоремою Піфагора РВ² + РD² = ВD². Аналогічно у ∆РАС $\angle$Р = 90° і РА² + РС² = АС². Додамо почленно отримані рівності:

РВ² + РD² + РА² + РС² = АС² + ВD².

Але АС² + ВD² = АВ² + ВС² + СD² + АD², тобто АС² + ВD² = 4АВ².

Тоді РВ² + РD² + РА² + РС² = 4АВ²: сума квадратів відстаней від точки Р до вершин квадрата не залежить від вибору точки Р.

Оскільки АВ = R$\sqrt{2}$, то 4АВ² = 4 • (R$\sqrt{2}$)² = 8R².

Відповідь: 8R².