Вправи для повторення розділу 3: 55

55. У трикутник зі сторонами 12 см, 50 см і 58 см вписано коло, а центр кола з’єднано з вершинами трикутника. Знайдіть площі трьох отриманих трикутників.

У ∆АВС АВ = 12 см, ВС = 50 см, АС = 58 см. О — центр вписаного кола, К, М і N — точки дотику кола до сторін трикутника. Тоді

ОК ⊥ АВ, ОМ ⊥ ВС, ОN ⊥ АС, ОК = ОМ = ОN — радіуси вписаного кола. В кожному з трикутників, що утворилися, висота — це радіус вписаного в ∆АВС кола. Знайдемо його.

Для ∆АВС р = $\frac{12+50+58}{2}$ = $\frac{120}{2}$ = 60 (см). За формулою Герона.

S_∆ABC = $\sqrt{60(60-12)(60-50)(60-58)}$ = $\sqrt{60•48•10•2}$ = $\sqrt{60•10•6•4•2•10•2}$ = 6 • 10 • 4 = 240 (см²).

r = OK = OM = ON = $\frac{S}{p}$ = $\frac{240}{60}$ = 4 (см).

Отже, S_∆AOB = $\frac{1}{2}$AB • OK = $\frac{1}{2}$ • 12 • 4 = 24 (см²);

S_∆BOC = $\frac{1}{2}$BC • OM = $\frac{1}{2}$ • 50 • 4 = 100 (см²);

S_∆AOC = $\frac{1}{2}$AC • ON = $\frac{1}{2}$ • 58 • 4 = 116 (см²).

Відповідь: 24 см², 100 см², 116 см².