Вправи для повторення розділу 3: 51

51. Площа трикутника 5 см², а дві його сторони дорівнюють 3 см і

4 см. Знайдіть площі трикутників, на які він ділиться бісектрисою кута між даними сторонами.

За властивістю бісектриси трикутника BD : DC = AB : AC = 3 : 4.

S_∆ABD = $\frac{1}{2}$BD • h, S_∆ACD = $\frac{1}{2}$CD • h, де h – спільна висота, проведена з вершини А на ВС.

Тоді $\frac{S_{∆\mathrm{ABD}}}{S_{∆\mathrm{ACD}}}$ = $\frac{\frac{1}{2}\mathrm{BD}•h}{\frac{1}{2}\mathrm{CD}•h}$ = $\frac{3}{4}$.

Нехай S_∆ABD = 3x, S_∆ACD = 4x. За умовою S_∆ABC = S_∆ABD + S_∆ACD = 5.

Тоді 3х + 4х = 5; х = $\frac{5}{7}$. Отже, S_∆ABD = 3 • $\frac{5}{7}$ = $\frac{15}{7}$ = 2$\frac{1}{7}$ (см²)

S_∆ACD = 4 • $\frac{5}{7}$ = $\frac{20}{7}$ = 2$\frac{6}{7}$ (см²).

Відповідь: 2$\frac{1}{2}$ см², 2$\frac{6}{7}$ см².