Вправи для повторення розділу 3: 33

33. Сторона квадрата дорівнює а. Знайдіть радіус кола, що

проходить через вершину квадрата, середину сторони, що не містить цієї вершини, і точку перетину діагоналей квадрата.

ABCD – квадрат, АВ = а, О – точка перетину діагоналей, М – середина сторони. Знайдемо радіус кола, що проходить через точки А, О і М.

У ∆OMD OM = MD = $\frac{a}{2}$, ∠DOM = 45°,

∠AOD = 90° (AC ⊥ BD), тоді

∠АОМ = 45° + 90° = 135°.

АО = $\frac{1}{2}$АС = $\frac{а\sqrt{2}}{2}$.

З ∆АОМ AM² = AO² + OM² – 2AO • OM • cos AOM = ($\frac{a\sqrt{2}}{2}$)² + ($\frac{a}{2}$)² – 2 • $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ • $\frac{a}{2}$ • cos 135° = $\frac{a^2}{2}$ + $\frac{a^2}{4}$ + 2 • $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$ • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{{2a}^2+a^2+{2a}^2}{4}$ = $\frac{{5a}^2}{4}$. AM = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

$\frac{\mathrm{AM}}{\sin 135°}$ = 2R, R = $\frac{\mathrm{AM}}{2\sin 45°}$ = $\frac{a\sqrt{5}•2}{2•2•\sqrt{2}}$ = $\frac{a\sqrt{5}•\sqrt{2}}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}$ = $\frac{a\sqrt{10}}{4}$.

Відповідь: $\frac{a\sqrt{10}}{4}$.