Вправи для повторення розділу 3: 32

32. У трикутнику ABC ∠A = α, ∠C = γ, AC = b. Знайдіть довжину

бісектриси трикутника AL.

∠BAL = ∠CAL = $\frac{1}{2}$ ∠A = $\frac{\alpha }{2}$.

У ∆ALC ∠ALC = 180° – (∠LAC + ∠LCA) = 180° – ($\frac{\alpha }{2}$ + γ).

Враховуючи, що sin(180° – α) = sin α, з ∆ALC маємо:

$\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{ALC}}$ = $\frac{\mathrm{AL}}{\sin C}$; AL = $\frac{\mathrm{AC}\sin C}{\sin \mathrm{ALC}}$ = $\frac{b\sin \gamma }{\sin (180°-(\frac{\alpha }{2}+\beta ))}$ = $\frac{b\sin \gamma }{\sin (\frac{\alpha }{2}+\beta )}$.

Відповідь: $\frac{b\sin \gamma }{\sin (\frac{\alpha }{2}+\beta )}$ .