Вправи для повторення розділу 3: 30

30. Доведіть, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну йому сторону на частини, обернено пропорційні синусам прилеглих до неї кутів.

$\frac{\mathrm{AB}}{\sin C}$ = 2R; AB = 2R sin C; $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}$ = 2R;

BC = 2R sin A.

За властивістю бісектриси кута трикутника

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$ = $\frac{2R\sin C}{2\sin A}$ = $\frac{\sin C}{\sin A}$.

Отже, $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$ = $\frac{\sin C}{\sin A}$.

Твердження доведено.