Вправи для повторення розділу 3: 31

31. Сторони трикутника дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см. Знайдіть

радіус кола, що проходить через кінці більшої сторони і середину меншої сторони.

У ∆АВС АВ = 3 см, ВС = 2 см, АС = 4 см.

М – середина ВС.

АМ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{{2\mathrm{AB}}^2+{2\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{{2•3}^2+{2•4}^2-2^2}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{18+32-4}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{46}$ (см).

З ∆АВС cos B = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\mathrm{AB}•\mathrm{BC}}$ = $\frac{3^2+2^2-4^2}{2•3•2}$ = $\frac{9+4-16}{12}$ = –$\frac{1}{4}$.

sin B = $\sqrt{{1-\cos }^{2}B}$ = $\sqrt{1-(-\frac{1}{4}{)}^2}$ = $\sqrt{1-\frac{1}{16}}$ = $\sqrt{\frac{15}{16}}$ = $\frac{\sqrt{15}}{4}$.

З ∆ABM $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{BMA}}$ = $\frac{\mathrm{AM}}{\sin B}$; sin BMA = $\frac{\mathrm{AB}•\mathrm{sinB}}{\mathrm{AM}}$ = $\frac{3•\sqrt{15}•2}{4•\sqrt{46}}$ = $\frac{3\sqrt{690}}{92}$.

∠AMC = 180° – ∠BMA (як суміжні). Але sin(180° – α) = sin α, тому sin AMC = sin BMA.

З ∆AMC $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{AMC}}$ = 2R, звідки R = $\frac{\mathrm{AC}}{2\sin \mathrm{AMC}}$ = $\frac{4•92}{2•3\sqrt{690}}$ = $\frac{2•92\sqrt{690}}{3•690}$ = $\frac{4\sqrt{690}}{45}$ (см).

Відповідь: $\frac{4\sqrt{690}}{45}$ см.