Вправи для повторення розділу 3: 15

15. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює m, а кут при основі – α. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони трикутника.

У ∆АВС АВ = ВС, АС = m, ∠A = α, AM – медіана. Нехай АВ = ВС = а, тоді

ВС² = АС² + АВ² – 2АС • АВ cos А;

а² = m² + а² – 2am cos α, звідки

2am cos α = m²; а = $\frac{m}{2\cos \alpha }$.

За формулою медіани:

AM = $\frac{1}{2}\sqrt{{2m}^2+2(\frac{m}{2\cos \alpha }{)}^2-(\frac{m}{2\cos \alpha }{)}^2}$;

AM = $\frac{1}{2}\sqrt{{2m}^2+\frac{m^2}{{4\cos }^2\alpha }}$ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{{8m}^2{\cos }^2\alpha +m^2}{{4\cos }^2\alpha }}$ = $\frac{m}{4\cos \alpha }$ $\sqrt{{8\cos }^2\alpha +1}$.

Відповідь: $\frac{m}{4\cos \alpha }$ $\sqrt{{8\cos }^2\alpha +1}$.