Вправи для повторення розділу 3: 14

14. У трикутнику зі сторонами 3 см, 4 см і 6 см проведено медіану до більшої сторони. Визначте косинус кута, що утворює ця медіана з меншою стороною трикутника.

У ∆ABC АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см, ВМ — медіана, AM = МС = 6 : 2 = 3 (см).

За формулою медіани

BM = m_AC = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{{2AB}^2+{2\mathrm{BC}}^2-{AC}^2}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{{2•3}^2+{2•4}^2-6^2}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{18+32-36}$ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{14}$ (см).

З ∆ABM cos ABM = $\frac{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BM}}^2{\mathrm{AM}}^2}{2\mathrm{AB}•\mathrm{BM}}$ = $\frac{3^2+\frac{14}{4}-3^2}{2•3•\frac{1}{2}\sqrt{14}}$ = $\frac{14}{12\sqrt{14}}$ = $\frac{14\sqrt{14}}{12•14}$ = $\frac{\sqrt{14}}{12}$.

Відповідь: $\frac{\sqrt{14}}{12}$.