Вправи для повторення розділу 3: 13

13. Одна зі сторін трикутника дорівнює 7 см і лежить проти кута 60°. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо одна з його середніх ліній дорівнює 3 см.

У ∆ABC АС = 7 см, ∠B = 60°. Середня лінія MN = 3 см. Оскільки середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, то MN не може бути паралельна стороні АС.

Нехай MN ∥ ВС. Тоді ВС = 2MN = 2 • 3 = 6 (см).

За теоремою косинусів

АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos 60°.

Нехай АВ = х см, тоді 7² = х² + 6² – 2 • x • 6 • $\frac{1}{2}$;

49 = х² + 36 – 6x; х² – 6х – 13 = 0;

D = 6² – 4 • (–13) = 36 + 52 = 88;

x = $\frac{6+\sqrt{88}}{2}$ = $\frac{6+2\sqrt{22}}{2}$ = 3 + $\sqrt{22}$ (x > 0).

Отже, АВ = (3 + $\sqrt{22}$) см.

Відповідь: 6 см і (3 + $\sqrt{22}$) см.