Вправи для повторення розділу 3: 17

17. Навколо чотирикутника, сторони якого в порядку слідування

дорівнюють а, b, c і d, можна описати коло. Знайдіть косинус кута між сторонами а і b.

Нехай α — кут між сторонами а і b. Оскільки навколо даного чотирикутника ABCD можна описати коло, то протилежний кут D дорівнює

(180° – α).

З ∆ABC за теоремою косинусів АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС cos α = а² + b² – 2ab cos α.

З ∆ACD АС² = CD² + AD² – 2CD • AD cos(180° – α) = c² + d² – 2cd cos α. Ліві частини рівні, отже, і праві також рівні:

а² + b² – 2ab cos α = с² + d² + 2cd cos α;

a² + b² – c² – d² = 2ab cos α + 2cd cos α;

a² + b² – c² – d² = cos α (2ab + 2cd).

Звідки cos α = $\frac{b^2+a^2-c^2-d^2}{2(\mathrm{ab}+\mathrm{cd})}$.

Відповідь: $\frac{b^2+a^2-c^2-d^2}{2(\mathrm{ab}+\mathrm{cd})}$.