Вправи для повторення розділу 3: 18

18. Доведіть, що в будь–якому трикутнику відношення суми

квадратів сторін до суми квадратів медіан дорівнює $\frac{4}{3}$.

За формулою медіани трикутника $m_a^2$ = $\frac{1}{4}$(2b² + 2c² – a²);

$m_b^2$ = $\frac{1}{4}$(2a² + 2c² – b²); $m_c^2$ = $\frac{1}{4}$(2a² + 2b² – c²);

$m_a^2$ + $m_b^2$ + $m_c^2$ = $\frac{1}{4}$(2b² + 2c² – a² + 2a² + 2c² – b² + 2a² + 2b² – c²) = $\frac{1}{4}$(3a² + 3b² + 3c²) = $\frac{3}{4}$(a² + b² + c²).

Отже, $\frac{a^2+b^2+c^2}{m_a^2+m_b^2+m_c^2}$ = $\frac{4}{3}$. Що і треба було довести.