Відповіді на вправи § 25 - 33: 32.15

32.15. Кут між векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}$ дорівнює 45°, |$\vec{a}$| = 2, |$\vec{b}$| = 1. Знайдіть:

Дано: $\angle$(a; b) = 45$°$; |$\bar{a}$| = 2, |$\bar{b}$| = 1.

Знайти:

Розв’язання

1) $\bar{a}$ • $\bar{b}$.

$\bar{a}$ • $\bar{b}$ = |$\bar{a}$| • |$\bar{b}$| • cos $\angle$(a; b) = 2 • 1 • cos 45$°$ = 2 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\sqrt{2}$.

2) $\bar{a}$($\bar{a}$ + $\bar{b}$).

$\bar{a}$($\bar{a}$ + $\bar{b}$) = $\bar{a}$ • $\bar{a}$ + $\bar{a}$ • $\bar{b}$ = |$\bar{a}$|² + $\sqrt{2}$ = 2² + $\sqrt{2}$ = 4 + $\sqrt{2}$.

3) $\bar{b}$($\bar{a}$ – $\bar{b}$).

$\bar{b}$($\bar{a}$ – $\bar{b}$) = $\bar{b}$ • $\bar{a}$ – $\bar{b}$ • $\bar{b}$ = $\sqrt{2}$ – |$\bar{b}$|² = $\sqrt{2}$ – 1² = $\sqrt{2}$ – 1.

4) $\bar{a}$(2$\bar{a}$ + 5$\bar{b}$).

$\bar{a}$(2$\bar{a}$ + 5$\bar{b}$) = 2$\bar{a}$² + 5 • $\bar{a}$ • $\bar{b}$ = 2|$\bar{a}$|² + 5$\sqrt{2}$ = 2 • 2² + 5$\sqrt{2}$ = 8 + 5$\sqrt{2}$.

Відповідь: 1) $\sqrt{2}$; 2) 4 + $\sqrt{2}$; 3) $\sqrt{2}$ – 1; 4) 8 + 5$\sqrt{2}$.