Відповіді на вправи § 25 - 33: 32.18

32.18. Сторона правильного трикутника дорівнює 6 см. Із його центра описано коло, радіус якого дорівнює 2 см. Знайдіть площу

частини трикутника, що лежить поза кругом, який обмежує

описане коло.

Дано: $∆$АВС – правильний; а = 6 см;

коло k (O; Rc); Rc = 2 cм.

Знайти: S

Розв’язання

S_ABC = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{6^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{36\sqrt{3}}{4}$ = 9$\sqrt{3}$ (см²);

r = $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{6}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{3}{\sqrt{3}}$ = $\sqrt{3}$ (см); r < Rc < R.

Тоді утворилося 3 сегменти.

$∆$ОМЕ ($\angle$М = 90$°$): cos $\angle$OME = $\frac{r}{R_c}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\angle$OME = 30$°$.

$\angle$EOP = 2 • $\angle$OME = 2 • 30$°$ = 60$°$.

Sсегм = Sсект – S_ABC = $\frac{\pi R_c^2•60°}{360°}$ – $\frac{R_c^2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{4\pi }{6}$ – $\frac{4\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{2\pi }{3}$ – $\sqrt{3}$ (см²)

Sперетину = $\pi R_c^2$ – 3Sсегм = 4$\pi$ – 3($\frac{2\pi }{3}$ – $\sqrt{3}$) = 4$\pi$ – 2$\pi$ + 3$\sqrt{3}$ = 2$\pi$ + 3$\sqrt{3}$ (см²)

Sшукана = SАВС – Sперетину = 9$\sqrt{3}$ – (2$\pi$ + 3$\sqrt{3}$) = 6$\sqrt{3}$ – 2$\pi$ = 2(3$\sqrt{3}$ – $\pi$) см².

Відповідь: 2(3$\sqrt{3}$ – $\pi$) см².