Відповіді на вправи § 15 - 17: 16.36

16.36. Кути правильного трикутника зрізали так, що отримали

правильний шестикутник. Знайдіть сторону трикутника, якщо сторона шестикутника дорівнює а см.

З кутів правильного трикутника ABC зрізали рівні рівнобедрені трикутники. Отримали

правильний шестикутник DEFKLM. Нехай АР ⊥ ВС, BN ⊥ АС, тоді О — точка перетну висот (медіан, бісектрис) ∆ABC, тобто центр трикутника і шестикутника.

Розглянемо ∆MOL.

Оскільки для правильного шестикутника R = а, то ∆MOL — рівносторонній. З ∆MON: ON = $\sqrt{{\mathrm{MO}}^2-{\mathrm{MN}}^2}$ = $\sqrt{a^2-(\frac{a}{2}{)}^2}$ = $\sqrt{\frac{{4a}^2-a^2}{4}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (см). Але ON – це радіус кола, вписаного у ∆АВС. Оскільки АВ = 2$\sqrt{3}$r, то АВ = 2$\sqrt{3}$ • $\frac{а\sqrt{3}}{2}$ = 3а (см).

Відповідь: 3а см.