Відповіді на вправи § 15 - 17: 16.38

16.38. Нехай a, b, c – сторони трикутника, P – його периметр. Доведіть, що а² + b² + с² ≥ $\frac{{Р}^2}{3}$.

P² = (а + b + с)² = ((а + b) + с)² = (а + b)² + 2(а + b)с + с² = а² + 2ab + b² + 2ас + 2bс + с² = a² + b² + с² + 2аb + 2aс + 2bс.

Для доведення нерівності складемо різницю лівої і правої частин і

доведемо, що вона невід’ємна. а²+b² + с² – $\frac{p^2}{3}$= $\frac{{3a}^2+{3b}^2+{3c}^2-p^2}{3}$ = $\frac{{3a}^2+{3b}^2+{3c}^2-a^2-b^2-c^2-2\mathrm{ab}-2\mathrm{ac}-2\mathrm{bc}}{3}$ = $\frac{{2a}^2+{2b}^2+{2c}^2-2\mathrm{ab}-2\mathrm{ac}-2\mathrm{bc}}{3}$ = $\frac{(a^2-2\mathrm{ab}+b^2)+(a^2-2\mathrm{ac}+c^2)+(b^2-2\mathrm{bc}+c^2)}{3}$ = $\frac{{(a-b)}^2+{(a-c)}^2+{(b-c)}^2}{3}$ ≥ 0.