Відповіді на вправи § 15 - 17: 15.35

15.35. Сторона правильного дванадцятикутника дорівнює 3$\sqrt{2-\sqrt{3}}$ см. Знайдіть його площу.

Розглянемо ∆АОВ, де А і B – дві сусідні вершини дванадцятикутника, О – центр описаного кола. АВ = 3$\sqrt{2-\sqrt{3}}$ cм.

$\angle$AOB = $\frac{360°}{12}$ = 30°.

Нехай AO = BO = R. За теоремою косинусів

AB² = OA² + OB² – 2OA • OB • cos 30°;

AB² = R² + R² – 2R² • $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

AB² = 2R² – 2R²$\sqrt{3}$; AB² = R²(2 – $\sqrt{3}$); (3$\sqrt{2-\sqrt{3}}$)² = R²(2 – $\sqrt{3}$);

R² = $\frac{{\left(3\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^2}{2-\sqrt{3}}$; R = $\frac{3\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2-\sqrt{3}}$ = 3 (см).

S₁₂ = $\frac{12}{2}$ • 3² • sin $\frac{360°}{12}$ = 6 • 9 • sin 30° = 27 (см²).

Відповідь: 27 см².