Відповіді на вправи § 15 - 17: 15.34

15.34. Сторона правильного восьмикутника дорівнює 4$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см. Знайдіть його площу.

Розглянемо ∆AOB, утворений радіусами описаного навколо восьмикутника кола, проведеним у дві сусідні вершини. За умовою AB = 4$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см.

Нехай OA = OB = R. $\angle$AOB = $\frac{360°}{8}$ = 45°.

За теоремою косинусів

AB² = OA² + OB² – 2OA • OB • cos 45°;

(4$\sqrt{2-\sqrt{2}}$)² = R² + R² – 2R • R • $\frac{\sqrt{2}}{2}$; (4$\sqrt{2-\sqrt{2}}$)² = 2R² – R² • $\sqrt{2}$;

(4$\sqrt{2-\sqrt{2}}$)² = R²(2 – $\sqrt{2}$); R = $\sqrt{\frac{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2}}}$ = $\sqrt{\frac{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2}}}$ = 4 (см).

За доведеною в задачі 2 § 15 формулою

S₈ = $\frac{8}{2}$R² sin $\frac{360°}{8}$ = 4 • 4² • sin 45° = 64 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 64 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 32$\sqrt{2}$ (см²).

Відповідь: 32$\sqrt{2}$ см.