Відповіді на вправи § 11 - 14: 14.37

14.37. Розгляньте рівнобедрений трикутник з кутом 2α при вершині і бічною стороною а. Знайдіть площу цього трикутника двома способами та доведіть формулу sin2 α = 2sin α cos α.

I спосіб.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$АВ • ВС sin ABC = $\frac{1}{2}$ • а • a sin 2α = $\frac{1}{2}$ а² sin 2 α.

II спосіб. Нехай BD ⊥ АС, тоді BD — медіана і бісектриса. ∠ABD = ∠CBD = α, AD = CD.

З ∆ABD AD = АВ cos α = а сов α,

BD = АВ sin α = b sin α.

S_∆ABC = AD • BD = a cos α • a sin α = a² sin α cos α.

Тоді $\frac{1}{2}$ а² sin 2 α = a² sin α cos α; sin 2α = 2 sin α cos α.