Відповіді на вправи § 11 - 14: 12.26

12.26. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, у якого кут при основі дорівнює 30°, а основа більша за бічну сторону на 2 см.

У ∆ABC АВ = ВС, $\angle$A = $\angle$C = 30°. Нехай

АВ = ВС = x см, тоді за умовою АС = (х + 2) см. За теоремою синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}$.

$\angle$B = 180° – 2$\angle$A = 180° – 2 • 30° = 120°.

Отже, $\frac{x+2}{\sin 120°}$ = $\frac{x}{\sin 30°}$; $\frac{x+2}{\sin 60°}$ = $\frac{x}{\sin 30°}$;

(x + 2) $\frac{1}{2}$ = x • $\frac{\sqrt{3}}{2}$; x + 2 = $\sqrt{3}$x; $\sqrt{3}$x – x = 2;

($\sqrt{3}$ – 1)x = 2; x = $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$; x = $\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$;

x = $\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}$; x = $\sqrt{3}$ + 1.

Отже, AB = BC = ($\sqrt{3}$ + 1) cм, АС = $\sqrt{3}$ + 1 + 2 = $\sqrt{3}$ + 3 (cм).

Р_∆АВС = АВ + ВС + АС = $\sqrt{3}$ +1 +$\sqrt{3}$ + 1 + $\sqrt{3}$ + 1 = З$\sqrt{3}$ + 5 (см).

Відповідь: $\sqrt{3}$ + 5 см.