Відповіді на вправи § 11 - 14: 12.28

12.28. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як $\sqrt{3}$ : 1. Скільки розв’язків має задача?

Нехай а, b і с — сторони даного трикутника, а = 3 см, b = 8 см. За умовою $\frac{c}{R}$ = $\frac{\sqrt{3}}{1}$, звідки $\frac{c}{2R}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Але $\frac{c}{2R}$ = sin С — синус кута, протилежного стороні с. Отже, sin С = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, тоді $\angle$C = 60° або $\angle$C = 120°.

За теоремою косинусів:

1) якщо $\angle$C = 60°, то с² = а² + b² – 2аb cos 60° = 9 + 64 – 2 • 3 • 8 • $\frac{1}{2}$ = 49, с = $\sqrt{49}$ = 7 (см);

2) якщо $\angle$C = 120°, то с² = а² + b² – 2ab cos 120° = а² + b² + 2ab cos 60° = 9 + 64+ 2 • 3 • 8 • $\frac{1}{2}$ = 97, с = $\sqrt{97}$ см.

Відповідь: 7 см або $\sqrt{97}$ см.