Відповіді на вправи § 11 - 14: 12.27

12.27. Сторона AB трикутника ABC на 1 см більша за сторону AC. Знайдіть сторони AB і AC, якщо $\angle$C = 60°, $\angle$B = 45°.

В ∆ABC $\angle$C = 60°, $\angle$B = 45°. Нехай АВ = х см, тоді АВ =(х + 1) см. За теоремою синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$; $\frac{x}{\sin 45°}$ = $\frac{x+1}{\sin 60°}$;

x : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = (x + 1) : $\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\frac{\sqrt{3}x}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (x + 1);

$\frac{\sqrt{3}}{2}$x – $\frac{\sqrt{2}}{2}$x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; ($\sqrt{3}$ – $\sqrt{2}$)x = $\sqrt{2}$;

x = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$; x = $\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ = $\frac{\sqrt{6}+2}{3-2}$ = $\sqrt{6}$ + 2.

Отже, AC = $\sqrt{6}$ + 2 (см), АВ = $\sqrt{6}$ + 3 (см).

Відповідь: АВ = ($\sqrt{6}$ + 3) см, АС = ($\sqrt{6}$ + 2) см.