Завдання для перевірки знань: §11-14 (9)

9. Дві сторони трикутника дорівнюють 6$\sqrt{2}$ см і 2 см. Знайдіть

третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як $\sqrt{2}$ : 1. Скільки розв’язків має задача?

У ∆АВС АВ = 6$\sqrt{2}$ см, ВС = 2 см, АС : R = $\sqrt{2}$ : 1.

Тоді АС = R$\sqrt{2}$ (см).

За узагальненою теоремою синусів

$\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}$= 2R; $\frac{R\sqrt{2}}{\sin B}$ = 2R; sin B = $\frac{R\sqrt{2}}{2R}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

∠В = 45° або ∠В = 180° – 45° = 135°.

Тоді АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos 45° = (6$\sqrt{2}$)² + 2² – 2 • 6$\sqrt{2}$ • 2 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 72 + 4 – 24 = 52; АС = $\sqrt{52}$ = $\sqrt{4•13}$ = 2$\sqrt{13}$ (см).

Або АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos 135° = (6$\sqrt{2}$)² + 2² + 2 • 6$\sqrt{2}$ • 2 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 72 + 4 + 24 = 100; АС = $\sqrt{100}$ = 10 (см).

Відповідь: 2$\sqrt{13}$ см або 10 см.