Задачі підвищеної складності: 8

8. Знайдіть невідомі координати двох вершин ромба ABCD з кутом 60°, якщо відомо координати двох його вершин А(–1; 0) і B(1; 0).

АВ — сторона ромба, АВ = 2.

З ∆АОD1: ОD1 = ОА1tg60° = 1$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$. $\angle$А ромба АВСD дорівнює 60°, тому ∆AD1B — рівносторонній. D1 рівновіддалена від т. А і т. В, тому D1 лежить на осі y. Отже, D1(0; $\sqrt{3}$). При цьому D1С1 паралельна АВ і D1С1 = АВ = 2. Отже, С1 має абсцису 2 або –2, а ордината дорівнює ординаті точки D1. Отже, перший ромб має вершини С(2; $\sqrt{3}$); и D(0; $\sqrt{3}$); 2 ромб — С (0; $\sqrt{3}$); о (–2; $\sqrt{3}$).

Якщо побудувати ромби в нижній півплощині відносно осі абсцис, то 3 ромб: має крім А і В ще вершини (2; –$\sqrt{3}$) і (0, –$\sqrt{3}$); 4 ромб: (0; –$\sqrt{3}$) і (–2; –$\sqrt{3}$). Якщо АВ — ні сторона, а менша діагональ, то С(0; $\sqrt{3}$); D(0; – $\sqrt{3}$) (з ∆АОD3: OD1 = AОtg60° = $\sqrt{3}$).

Якщо АВ — більша діагональ, то C(0; $\frac{\sqrt{3}}{3}$); D(0; –$\frac{\sqrt{3}}{3}$)

(з ∆АВО: АО = АОtg30° = 1 • $\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$).