Задачі підвищеної складності: 10

10. Доведіть, що відстань від точки А (х₀; у₀) до прямої ах + by + с = 0 можна знайти за формулою.

Перепишемо рівняння прямої, щоб визначити її кутовий коефіцієнт:

ах + bу + с = 0; у = –$\frac{a}{b}$x – $\frac{c}{b}$. Отже, k = –$\frac{a}{b}$. З точки А опустимо перпендикуляр АР на дану пряму. Тоді кутовий коефіцієнт прямої АР дорівнює $\frac{b}{a}$ і її рівняння має вигляд у = $\frac{b}{a}$ (х – х₀) + у₀. Для того, щоб знайти координати точки Р, потрібно розв’язати систему

ax + by + c = 0,

y = $\frac{b}{a}$ (x – x₀) + y₀. Перепишемо цю систему у такому вигляді:

a(x – x₀) + b(y – y₀) + ax₀ + by₀ + c = 0,

y – y₀ = $\frac{b}{a}$ (x – x₀);

x – x₀ = –$\frac{a}{a^2+b^2}$ (ax₀ + by₀ + c),

y – y₀ = –$\frac{b}{a^2+b^2}$ (ax₀ + by₀ + c).

Отже, PA² = (x – x₀)² + (y – y₀)² = $\frac{{({\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0+c)}^2}{a^2+b^2}$, звідки

РА = $\frac{|{\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.