Вправи: 882

882. Навколо круга радіуса r розташовано чотири однакових круги, кожний з яких дотикається до даного круга, і кожні два сусідніх круга дотикаються між собою (мал. 154). Знайдіть площу одного із цих кругів.

Чотири однакових кола з центрами O₁, О₂, О₃

і О₄ дотикаються п’ятого кола з центром О₅ і радіусом r. Відомо, що точка дотику двох кіл лежить на прямій, що з’єднує центри. Крім того, ця пряма перпендикулярна дотичній, проведеній в точку дотику. Таким чином, точки O₁, O₅ і O₃ лежать на одній прямій. Розглянемо ∆O₁O₃O₄. ∠O₁O₃O₄ = 90°.

O₁O₄ = O₄O₃ = 2R, де R — радіус більшого кола.

O₁O₃ = R + 2r + R = 2R + 2r.

За теоремою Піфагора O₁O32 = O₁O42 + O₁O32. (2R + 2r)² = (2R)² +

+ (2R)²; 4R² + 8Rr + 4r² = 4R² + 4R²; 4R² – 8Rr – 4r² = 0; R² – 2Rr –

– r² = 0.

Розв’яжемо квадратне рівняння відносно R.

D = (–2r)² – 4 • (–r²) = 4r² + 4r² = 8r²; R = 2r+ 8r22 = r + 2r = r(1 +

+ 2).

S = πR² = π(r + 2r)² = π(r² + 22r² + 2r²) = π(3r² + 22r²) =

= πr²(3 + 22).

Відповідь: πr²(3 + 22).