Вправи: 862

862. Довжина сторони правильного шестикутника дорівнює а. У шестикутник вписано коло. Знайдіть довжину дуги кола між точками його дотику до сусідніх сторін шестикутника.

Коло, вписане в правильний шестикутник АВСDЕF, дотикається до нього в точках, що є серединами сторін шестикутника. Знайдемо

довжину дуги КР.

∆OKP — рівнобедрений, ОК = ОР = r = a32.

∠KBP = 180°(6-2)6 = 120°.

За теоремою косинусів

KP² = KB² + PB² – 2KB • PB • cos 120° = (a2)² +

+ (a2)² + 2 • (a2)( a2) •

• 12 = 2a24 + a24 = 3a24; KP = 3a24 = a32.

Отже, KP = OK = OP, ∆OKP – рівносторонній, тому ∠КОР = 60°. Тоді

l60 = πr180 • 60 = π• a32•3 = πa36.

Відповідь: 3πa6.