Вправи: 752

752. Сторона правильного дванадцятикутника дорівнює

32-3 см. Знайдіть його площу.

Розглянемо ∆АОВ, де А і B – дві сусідні вершини дванадцятикутника, О – центр описаного кола. АВ = 32-3 cм. ∠AOB =

= 360°12 = 30°.

Нехай AO = BO = R. За теоремою косинусів

AB² = OA² + OB² – 2OA • OB • cos 30°;

AB² = R² + R² – 2R² • 32; AB² = 2R² – 2R²3;

AB² = R²(2 – 3); (32-3)² = R²(2 – 3);

R² = (32-3)22- 3; R = 32-32-3 = 3 (см).

S₁₂ = 122 • 3² • sin 360°12 = 6 • 9 • sin 30° = 27 (см²).

Відповідь: 27 см².