Вправи: 751

751. Сторона правильного восьмикутника дорівнює 42-2 см. Знайдіть його площу.

Розглянемо ∆AOB, утворений радіусами описаного навколо восьмикутника кола, проведеним у дві сусідні вершини. За умовою

AB = 42-2 см. Нехай OA = OB = R.

∠AOB = 360°8 = 45°.

За теоремою косинусів

AB² = OA² + OB² – 2OA • OB • cos 45°;

(42-2)² = R² + R² – 2R • R • 22; (42-2)² = 2R² – R² • 2;

(42-2)² = R²(2 – 2); R = 42-22-2 = 42-22-2 = 4 (см).

За доведеною в задачі 2 § 15 формулою

S₈ = 82R² sin 360°8 = 4 • 4² • sin 45° = 64 • 22 = 64 • 22 = 322 (см²).

Відповідь: 322 см.