Вправи: 715

715. У трикутник зі сторонами 12 см, 50 см і 58 см вписано коло, а центр кола з’ єднано з вершинами трикутника. Знайдіть площі трьох отриманих трикутників.

У ∆АВС АВ = 12 см, ВС = 50 см, АС = 58 см. О — центр вписаного кола, К, М і N — точки дотику кола до сторін трикутника. Тоді

ОК ⊥ АВ, ОМ ⊥ ВС, ОN ⊥ АС, ОК = ОМ = ОN — радіуси вписаного кола. В кожному з трикутників, що утворилися, висота — це радіус вписаного в ∆АВС кола. Знайдемо його.

Для ∆АВС р = 12+50+582 = 1202 = 60 (см). За формулою Герона.

S_∆ABC = 6060-1260-50(60-58) = 60 •48 •10 •2 =

= 60 •10•6 •4 •2 •10 •2 = 6 • 10 • 4 = 240 (см²).

r = OK = OM = ON = Sp = 24060 = 4 (см).

Отже, S_∆AOB = 12AB • OK = 12 • 12 • 4 = 24 (см²)

S_∆BOC = 12BC • OM = 12 • 50 • 4 = 100 (см²);

S_∆AOC = 12AC • ON = 12 • 58 • 4 = 116 (см²).

Відповідь: 24 см², 100 см², 116 см².