Вправи: 678

678. Доведіть, що в будь–якому трикутнику відношення суми

квадратів сторін до суми квадратів медіан дорівнює 43.

За формулою медіани трикутника ma2 = 14(2b² + 2c² – a²);

mb2 = 14(2a² + 2c² – b²); mc2 = 14(2a² + 2b² – c²);

ma2 + mb2 + mc2 = 14(2b² + 2c² – a² + 2a² + 2c² – b² + 2a² + 2b² – c²) =

= 14(3a² + 3b² + 3c²) = 34(a² + b² + c²).

Отже, a2+b2+ c2ma2+ mb2+ mc2 = 43. Що і треба було довести.