Вправи: 679

679. Для медіан трикутника m₁, m₂, m₃ справджується рівність

m12 + m22 = 5m32. Доведіть, що трикутник прямокутний.

За доведеним у №678 випливає, що a² + b² + c² = 43(m12 + m22 + m32).

За умовою m12 + m22 = 5m32, за теоремою Піфагора a² + b² = c², тоді

a² + b² + c² = 4 •6m323; 8m32 = c² + c²; 8m32 = 2c²; c² = 4m32; c = 2m₃;

m₃ = 12c.

Медіана дорівнює половині гіпотенузи в прямокутному трикутнику.