Вправи: 677

677. Навколо чотирикутника, сторони якого в порядку слідування

дорівнюють а, b, c і d, можна описати коло. Знайдіть косинус кута між сторонами а і b.

Нехай α — кут між сторонами а і b. Оскільки

навколо даного чотирикутника ABCD можна

описати коло, то протилежний кут D дорівнює

(180° – α).

З ∆ABC за теоремою косинусів АС² = АВ² +

+ ВС² – 2АВ • ВС cos α = а² + b² – 2ab cos α.

З ∆ACD АС² = CD² + AD² – 2CD • AD cos(180° –

– α) = c² + d² – 2cd cos α. Ліві частини рівні,

отже, і праві також рівні:

а² + b² – 2ab cos α = с² + d² + 2cd cos α;

a² + b² – c² – d² = 2ab cos α + 2cd cos α;

a² + b² – c² – d² = cos α (2ab + 2cd).

Звідки cos α = b2+ a2- c2- d22(ab+cd).

Відповідь: b2+ a2- c2- d22(ab+cd).