Вправи: 660

660. Доведіть, що в будь–якому опуклому чотирикутнику сума довжин діагоналей менша від периметра.

Нехай М — точка перетину діагоналей АС і ВD чотирикутника АВСD.

Застосуємо нерівність трикутників АВС, АDС, ВАD і ВСD: АС < АВ +

+ ВС, АС < АD + DС, ВD < АВ + АD, ВD < СА + СВ. Додавши ці нерівності, отримаємо: 2(АС + ВD) < 2(АВ + ВС + СD + АD), звідки АС + ВD < Р_ABCD.

Домашня самостійна робота № З

1. У трикутнику проти сторони а лежить кут 70°, а проти сторони b – кут 80°. Укажіть правильну рівність.

asin70° = bsin80°.

Відповідь: Б.

2. Сторони трикутника завдовжки а і b утворюють між собою кут γ. Якщо а = 6 см, b = 10 см, γ = 45°, то площа трикутника дорівнює ...

S = 12ab sin γ = 12 • 6 • 10 • 22 = 152 (см²).

Відповідь: А.

3. Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 5 см, а один з його кутів – 120°. Знайдіть площу паралелограма.

S = 12ab sin 120° = 8 • 5 • sin 60° = 40 • 32 = 203 (см²).

Відповідь: Г.

4. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 15 см, а кут між ними – 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

x² = 7² + 15² – 2 • 7 •15 • cos 60° = 49 + 225 –105 = 169; x =

= 169 = 13 (см).

Відповідь: Б. 13 см.

5. У трикутнику ABC ∠A = 30°, ∠B = 45°, BC = 82 см. Знайдіть AC.

ACsinB = BCsinA; AC = BC •sinBsinA; AC = 82 •sin45°sin30° = 82• 2 •22 •1 =

= 16 (см).

Відповідь: В. 16 см.

6. Знайдіть найбільший кут трикутника, сторони якого дорівнюють

7 см, 8 см і 13 см.

Нехай a = 7 cм, b = 8 cм, c = 13 cм. Найбільший кут C лежить навпроти найбільшої сторони с.

cos C = a2+ b2- c22ab = 72+ 82- 1322•7•8 = 49+64-169112 = -56112 = –0,5;

∠C = 180° – 60° = 120°.

Відповідь: Б. 120°.

7. Одна зі сторін трикутника дорівнює 14 см, дві інші утворюють кут 120°, а їх різниця дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ∆ABC АС = 14 cм, ∠ABC = 120°, ВС =

= х см, тоді АВ = (х + 4) см. За теоремою косинусів

АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • BC cos 120° =

= АВ² + ВС² + 2АВ • ВС cos 60°;

14² = (х + 4)² + х² + 2 • х(х + 4) • 12;

196 = х² + 8x + 16 + х² + х² + 4x;

Зx² + 12x – 180 = 0; x² + 4х – 60 = 0; x = 6 (x > 0).

Отже, ВС = 6 см, АВ = 6 + 4 = 10 (см). Р = 14 + 6 + 10 = 30 (см).

Відповідь: А. 30 см.

8. У трикутнику ABC ∠B = 30°, AC = 22 см, BC = 4 см. Знайдіть ∠A.

ACsinB = BCsinA; sin A = BC •sinBAC = 4 •0,522 = 22; ∠A = 45°.

Відповідь: Б. 45°.

9. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами завдовжки

11 см, 13 см і 20 см.

Нехай а = 11 см, b = 13 см, с = 20 см. Найменша висота проведена до більшої сторони h_с. h_c = 2Sс. Знайдемо площу трикутника.

p = 11+13+202 = 22; S = 2222-1122-13(22-20) =

= 22 •11 •9 •2 = 11•2 •11 •9 •2 = 112• 22•32 = 11 • 2 •

• 3 = 66 (см²). h_c = 2 •6620 = 6,6 (см).

Відповідь: В. 635 см.

10. У трикутнику ABC AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см. На сторонах AB і AC відповідно взято точки K і L такі, що AK = 2 см, AL = 5 см. Знайдіть довжину відрізка KL.

cos A = AC2+ AB2- BC22AC •AB = 102+ 62- 822 •10 •6 =

= 100+36+64120 = 72120 = 0,6.

З ∆AKL KL² = АК² + AL² – 2АК • AL cos А =

= 2² + 5² – 2 • 2 • 5 • 0,6 = 4 + 25 – 12 =

= 17; KL = 17 см.

Відповідь: Б. 17 см.

11. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 16 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо її відношення до радіуса описаного кола дорівнює 3 : 1.

У ∆АВС АВ = 6 см, АС = 16 см. За умовою

BC : R = 3 : 1. Звідси ВС = R3 (см).

За узагальненою теоремою синусів

BCsinA = 2R, R3sinA = 2R, тоді sin А = 32,

∠A = 60° або ∠A = 180° – 60° = 120°.

Можливі два випадки.

1) За теоремою косинусів ВС² = АВ² + АС² – 2АВ • АС • cos А =

= 6² + 16² – 2 • 6 • 16 • 12 = 36 + 256 – 96 = 196; ВС = 196 =

= 14 (см).

2) ВС² = АВ² + АС² – 2АВ • АС • cos 120° = 6² + 16² + 2 • 16 • 12 •

• 12 = 36 + 256 + 96 = 388 = 4 • 97; ВС = 4 •97 = 297 см.

Відповідь: В. 14 см або 297 см.

12. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, а медіана, що проведена до третьої сторони, – 4 см. Знайдіть менший з відрізків, на які бісектриса трикутника ділить цю сторону.

У ∆АВС АВ = 7 см, АС = 9 см, AM = 4 см — медіана, AL — бісектриса. Відкладемо МС = AM на продовженні AM. ABDC — паралелограм (AM = MD за побудовою, ВМ = МС за умовою).

У ∆ADC DC = АВ = 7 см, AD = 2AM = 8 см.

cos A = AC2+ DC2- AD22AC •DC = 92+ 72- 822 •9 •6 = 81+49-64126 = 1121.

∠A = 180° – ∠C, тоді cos A = –cos C = –1121.

З ∆ABC BC= AD2+AC2- 2AB•ACcosA= 72+92-2 •7•9 •1121 =

= 49+81+66 = 196 ; BC = 196 = 14 (см).

За властивістю бісектриси трикутника BLLC = ABAC = 79.

Тоді BL = 7х, LC = 9x.

7х + 9x = 14; 16x = 14; x = 0,875; BL = 4 • 0,875 = 6,125 (см).

Відповідь: А. 6,125 см.

Завдання для перевірки знань № 3 до §§ 11–14

1. У трикутнику проти сторони а лежить кут 20°, а проти сторони b – кут 70°. Які з рівностей правильні:

2, 4.

2. Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 9 см, а кут між ними – 60°. Знайдіть площу трикутника.

S = 12 • 4 • 9 sin 60° = 12 • 4 • 9 • 32 = 93 (см).

3. Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 5 см, а один з кутів – 135°. Знайдіть площу паралелограма.

S = 6 • 5 • sin 135° = 30 • sin(180° – 45°) = 30 • 22 = 152 (см²).

4. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 10 см, а кут між ними дорівнює 120°. Знайдіть третю сторону трикутника.

За теоремою косинусів x² = 6² + 10² – 2 • 6 • 10 cos 120° = 36 +

+ 100 + 120 • 12 = 196; x = 196 = 14.

Відповідь: 14 см.

5. У трикутнику ABC AB = 62, ∠C = 30°, ∠A = 45°. Знайдіть довжину сторони BC.

За теоремою синусів

ABsinC = BCsinA; BC = AB •sinAsinC = 62 •sin45°sin30° = 62 • 2 •22 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

6. Розв’яжіть ∆ABC, якщо AB = 8 см, AC = 9 см, BC = 5 см (невідомі кути знайдіть з точністю до градуса).

Найменший кут А лежить проти найменшої сторони ВС. Знайдемо cos А.

cos A = AC2+ AB2- BC22AC •AB = 92+ 82- 522 •9 •8 = 81+64-25144 = 120144 = 56 ≈

≈ 0,8333, ∠A ≈ 33°.

BCsinA = ABsinC; sin C = AB •sinABC = 8 •sin33°5 ≈ 8 •0,54465 ≈ 0,8714,

∠C ≈ 60°; ∠B ≈ 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (33° + 60°) = 87°.

Відповідь: ∠A ≈ 33°, ∠C ≈ 60°, ∠B ≈ 87°.

7. Одна зі сторін трикутника дорівнює 13 см, дві інші утворюють кут 60°, а їх різниця дорівнює 7 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ∆ABC BC = 13 см, ∠BAC = 60°. Нехай AB = x cм,

тоді AC = (x + 7) cм. За теоремою косинусів

ВС² = AB² + AC² – 2AB • AC cos 60°;

13² = x² + (x + 7)² – 2 • x(x + 7) • 12;

169 = x² + x² + 14x + 49 – x² – 7x;

x² + 7x – 120 = 0; x – 16 (x > 0).

Отже. АВ = 16 см, АС = 16 + 7 = 23 (см).

P_∆ABC = 13 + 16 + 23 = 52 (cм).

Відповідь: 52 см.

8. Знайдіть найбільшу висоту трикутника, сторони якого

дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см.

Найбільша висота трикутника — це висота, проведена до найменшої

сторони.

Нехай у ∆АВС а = 4 см, b = 13 см, с = 15 см (мал. 111 підручника).

p = a+b+c2 = 4+13+152 = 322 = 16.

S = pp-ap-b(p-c) = 1616-416-13(16-15) =

= 42•12•3 •1= 42•4 •3 •3 •1 = 4 • 2 • 3 = 24 (см²).

h_a = 2Sa = 2 •244 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

9. Дві сторони трикутника дорівнюють 62 см і 2 см. Знайдіть

третю сторону трикутника, якщо вона відноситься до радіуса описаного кола як 2 : 1. Скільки розв’язків має задача?

У ∆АВС АВ = 62 см, ВС = 2 см, АС : R = 2 : 1.

Тоді АС = R2 (см).

За узагальненою теоремою синусів

ACsinB= 2R; R2sinB = 2R; sin B = R22R = 22;

∠В = 45° або ∠В = 180° – 45° = 135°.

Тоді АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos 45° = (62)² + 2² –

– 2 • 62 • 2 • 22 = 72 + 4 – 24 = 52; АС = 52 = 4 •13 =

= 213 (см).

Або АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos 135° = (62)² + 2² +

+2 • 62 • 2 • 22 = 72 + 4 + 24 = 100; АС = 100 = 10 (см).

Відповідь: 213 см або 10 см.

10. У трикутнику ABC AB = 7 см, BC = 6 см, AC = 5 см. На сторонах BC і CA відповідно позначено точки M і N так, що CM = 5 см, CN =

= 3 см. Знайдіть довжину відрізка MN.

З ∆АВС cos C = AC2+ BC2- AB22AC •BC =

= 52+ 62- 722 •5 •6 = 25+36-4960 = 1260 = 0,2.

З ∆MNC MN² = MC² + NC² – 2MC • NC cos C =

= 5² + 3² – 2 • 5 • 3 • 0,2 = 25 + 9 – 6 = 28; MN = 28 = 4 •7 = 27 (см).

Відповідь: 27 см.

11. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 16 см і 38 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 25 см.

У ∆АВС АВ = 38 см, АС = 16 см, АM =

= 25 см — медіана. Відкладемо на продовженні АМ МК = АМ.

Тоді АВКС — паралелограм (АМ = МК

за побудовою, ВМ = МС за умовою).

S_∆ABC = 12S_ABKC = S_∆ABK.

У ∆ABK BK = AC = 16 см, AK = 2 • 25 = 50 (см).

p = 38+16+502 = 1042 = 52.

S = pp-ap-b(p-c) = 5252-3852-16(52-50 =

= 52•36•2•14 = 13•4•62•2•7•2 = 4 • 613•7 =

= 2491 (см²).

Відповідь: 2491 см².