Вправи: 642

642. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два його кути – α і β. Знайдіть площу трикутника.

У ∆ABC ∠А = α, ∠В = β, тоді ∠С = 180° – (α +

+ β).

За узагальненою теоремою синусів

R = a2sin α = b2sin β = c2 sin γ, де а, b, с — сторони трикутника, γ = 180° – (α + β). Отже, ВС = 2R sin α, АС = 2R sin γ,

АВ = 2R sin(180° – (α + β)) = 2R sin(α + β).

S = AC•AB•BC4R = 2R sinα•2R sinβ•2R sin(α+ β)4R⁡=

= 2R² sin α sin β sin(α + β).

Відповідь: 2R² sin α sin β sin(α + β).