Вправи: 600

600. З точки до прямої проведено дві похилі, відстань між основами яких 7 см. Одна з них дорівнює 5 см і утворює з прямою кут 60°. Знайдіть другу похилу (з точністю до сотих см), кут між похилими та кут, що утворює друга похила з прямою (з точністю до градуса). Скільки випадків слід розглянути?

І випадок.

Похилі розміщені по один бік від

перпендикуляру AD. АВ = 5 cм, ∠ABD = 60°.

Розглянемо випадок, коли друга похила АС більша за АВ. Тоді ВС = 7 cм, ∠АВС = 180° –

– ∠АВС = 180° – 60° =120°. За теоремою косинусів АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС •

• cos ABC = 5² + 7² – 2 • 5 • 7 • cos 120° =

= 25 + 49 + 70 cos 60° ≈ 74 + 70 • 0,5 ≈

≈ 109, AC = 109 ≈ 10,44 (см).

BCsin BAC = ACsin ABC;

sin BAC = BC• sin ABCAC = 7• sin 120°10,44 ≈ 7•0,86610,44 ≈ 0,5807, ∠BAC ≈ 35°.

∠ACB = 180° – (∠ВАС + ∠ABC) = 180° – (35° + 120°) = 25°.

Відповідь: 10,44 cм, 35°, 25°.

Нехай друга похила AK менша за АВ. Тоді ВК = 7 см.

АК² = АВ² + ВК² – 2АВ • ВК cos АВК = 5² + 7² – 2 • 5 • 7 • cos 60° ≈

≈ 25 + 49 – 70 • 0,5 ≈ 39; АК ≈ 6,24 (см). Але 6,24 > 5, отримали суперечність. Отже, такий випадок неможливий.

II випадок.

АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos ABC ≈ 25 + 49 – 2 • 5 • 7 • 0,5 ≈

≈ 39;

AC = 39 ≈ 6,24 см. ACsin ABC = ABsin ACB;

sin ACB = AB• sin ABCAC = 5• sin 60°6,24 ≈ 5•0,8666,24 ≈

≈ 0,6839;

∠ACB ≈ 44°. ∠ВАС = 180° – (∠ABC + ∠ACB) ≈

≈ 180° – (60° + 44°) ≈ 76°.

рідповідь: 6,24 cм, 44°, 76°.