Відповіді на вправи підручника: 780

780. За даною довжиною дуги і знайдіть хорду, яка сполучає її кінці, якщо дуга містить: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

Якщо довжина дуги l і її стягує хорда AB, то знайдемо R з формули

l = $\frac{\pi \mathrm{Rn}°}{180°}$, R = $\frac{l•180°}{\pi n°}$.

1) якщо n° = 60°, тоді R = $\frac{l•180°}{\pi •60°}$ = $\frac{3l}{\pi }$. У ∆AOB

OA = OB, $\angle$AOB = 60°, тоді ∆AOB – рівносторонній, отже, AB = R.

AB = $\frac{3l}{\pi }$;

2) якщо n° = 90°, тоді R = $\frac{l•180°}{\pi •90°}$ = $\frac{2l}{\pi }$. У ∆AOB OA = OB, $\angle$AOB = 90°, тоді ∆OAB – рівнобедрений прямокутний, тоді AB = R$\sqrt{2}$, AB = $\frac{2l\sqrt{2}}{\pi }$;

3) якщо n° = 120°, тоді R = $\frac{l•180°}{\pi •120°}$ = $\frac{3l}{2\pi }$. Із ∆AOB за теоремою косинусів AB² = R² + R² – 2R • R • cos 120°,

AB² = 2R² + 2R² • $\frac{1}{2}$, AB² = 3R², AB = R$\sqrt{3}$, AB = $\frac{3l\sqrt{3}}{2\pi }$.

Відповідь: 1) $\frac{3l}{\pi }$; 2) $\frac{2l\sqrt{2}}{\pi }$; 3) $\frac{3l\sqrt{3}}{2\pi }$.