Відповіді на вправи підручника: 781

781. Знайдіть довжину дуги, якщо хорда, що її стягує, дорівнює a, а дуга містить: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

За умовою хорда AB = а.

1) якщо n° = 60, то ∆OAB – рівносторонній.

R = a, l = $\frac{\pi \mathrm{Rn}°}{180°}$, l = $\frac{\pi •a•60°}{180°}$ = $\frac{\pi a}{3}$;

2) якщо n° = 90°, то ∆OAB – рівнобедрений і прямокутний, тоді

R = $\frac{a}{\sqrt{2}}$. l = $\frac{\pi \mathrm{Rn}°}{180°}$, l = $\frac{\pi •\frac{a}{\sqrt{2}}•90°}{180°}$ = $\frac{\pi a}{2\sqrt{2}}$;

3) якщо n° = 120°, то а² = R² + R² – 2R • R • cos 120°,

а² = 2R² + 2R² • $\frac{1}{2}$, а² = 3R², R² = $\frac{a^2}{3}$, R = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ • l = $\frac{\pi \mathrm{Rn}°}{180°}$,

l = $\frac{\pi •\frac{a}{\sqrt{3}}•120°}{180°}$ = $\frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}$.

Відповідь: 1) $\frac{\pi a}{3}$; 2) $\frac{\pi a}{2\sqrt{2}}$; 3) $\frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}$.