Відповіді на вправи підручника: 783 (1)

783. Три кола попарно дотикаються зовні. Знайдіть довжину

кола, яке проходить через точки дотику, якщо радіуси трьох кіл дорівнюють: 1) 9 см, 16 см, 20 см; 2) 1 см, 2 см, 3 см.

Дано: 3 кола, що дотикаються: K₁(O₁; R₁),

K₂(O₂; R₂), K₃(O₃; R₃).

Знайти: С кола з центром О.

Розв'язання

1) R₁ = 9 см; R₂ = 16 см; R₃ = 20 см.

Знайдемо r вписаного кола в ∆О₁О₂O₃:

r = $\frac{S}{p}$; p = $\frac{1}{2}$(О₁О₂ + О₂О₃ + О₃О₁);

О₁О₂ = R₁ + R₂ = 9 + 16 = 25 (см);

О₂О₃ = R₂ + R₃ = 16 + 20 = 36 (см);

О₃О₁ = R₃ + R₁ = 20 + 9 = 29 (см).

p = $\frac{1}{2}$(25 + 36 + 29) = 45 (см).

S = $\sqrt{p(p-O_1{O}_2)(p-O_2{O}_3)(p-O_3{O}_1)}$ = $\sqrt{45(45-25)(45-36)(45-29)}$ = $\sqrt{45•20•9•16}$ = 360 (см²).

r = $\frac{360}{45}$ = 8 (см); C = 2$\pi$r = 2$\pi$ • 8 = 16$\pi$ (см).

Відповідь: 16$\pi$ см.

2) R₁ = 1 см; R₂ = 2 см; R₃ = 3 см.

Знайдемо r вписаного кола в ∆О₁О₂O₃: r = $\frac{S}{p}$;

p = $\frac{1}{2}$(О₁О₂ + О₂О₃ + О₃О₁);

О₁О₂ = R₁ + R₂ = 1 + 2 = 3 (см);

О₂О₃ = R₂ + R₃ = 2 + 3 = 5 (см);

О₃О₁ = R₃ + R₁ = 3 + 1 = 4 (см).

p = $\frac{1}{2}$ (3 + 5 + 4) = $\frac{1}{2}$ • 12 = 6 (см).

S = $\sqrt{p(p-O_1{O}_2)(p-O_2{O}_3)(p-O_3{O}_1)}$ = $\sqrt{6•(6-3)(6-5)(6-4)}$ = $\sqrt{6•3•1•2}$ = 6 (см²).

r = $\frac{6}{6}$ = 1 (см); C = 2$\pi$r = 2$\pi$ • 1 = 2$\pi$ (см).

Відповідь: 2$\pi$ см.