Відповіді на вправи підручника: 784 (1)

784. У колі по один бік від центра проведено дві паралельні хорди завдовжки a і b. Відстань між хордами дорівнює c. Знайдіть довжину кола, якщо: 1) a = 40 см, b = 48 см, c = 8 см; 2) a = 120 см, b = 32 см, c = 38 см.

Дано: коло K(O; R); AB $\parallel$ CD; AB = b; CD = a; MK = c.

Знайти: С.

Розв'язання

1) CD = 40 см; АВ = 48 см; МК = 8 см.

Знайдемо радіус R кола.

∆AMO ($\angle$M = 90°): OM = $\sqrt{{\mathrm{AO}}^2-{\mathrm{AM}}^2}$.

AO = R; AM = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$ • 48 = 24 (см).

ОМ = $\sqrt{R^2-{24}^2}$ = $\sqrt{R^2-576}$ (см).

∆OKD ($\angle$K = 90°): OD² = OK² + KD².

OD = R; OK = OM + MK = $\sqrt{R^2-576}$ + 8 (см);

KD = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$ • 40 = 20 (см).

R² = ($\sqrt{R^2-576}$ + 8)² + 400;

R² = R² – 576 + 16$\sqrt{R^2-576}$ + 64 + 400;

16$\sqrt{R^2-576}$ = 112 |: 16; $\sqrt{R^2-576}$ = 7;

R² – 576 = 49; R² = 625; R = 25 (см).

C = 2$\pi$R = 2$\pi$ • 25 = 50$\pi$ (см).

Відповідь: 50$\pi$ см.

2) AB = 120 см; CD = 32 см; МК = 38 см. Знайдемо радіус R кола.

∆AMO ($\angle$M = 90°): OM = $\sqrt{{\mathrm{AO}}^2-{\mathrm{AM}}^2}$.

AO = R; AM = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$ • 120 = 60 (см).

ОМ = $\sqrt{R^2-{60}^2}$ = $\sqrt{R^2-3600}$ .

∆OKD ($\angle$K = 90°): OD² = OK² + KD².

OD = R; OK = OM + MK = $\sqrt{R^2-3600}$ + 38 (см);

KD = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$ • 32 = 16 (см).

R² = ($\sqrt{R^2-3600}$ + 38)² + 16²;

R² = R² – 3600 + 76$\sqrt{R^2-3600}$ + 1444 + 256;

76$\sqrt{R^2-3600}$ = 1900 |: 76; $\sqrt{R^2-3600}$ = 25;

R² – 3600 = 625; R² = 4225; R = 65 (см).

C = 2$\pi$R = 2$\pi$ • 65 = 130$\pi$ (см).

Відповідь: 130$\pi$ см.