Відповіді на вправи підручника: 773 (1)

773. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і b, а діагональ — d. Знайдіть довжину кола, описаного навколо трапеції, якщо:

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція,

вписана в коло; BC = a, AD = b; AC = d.

Знайти: С.

Розв’язання

1) ВС = 6 см; AD = 18 см; АС = 20 см.

Знайдемо R описаного кола ∆ACD: R = $\frac{\mathrm{abc}}{4S}$.

KD = $\frac{1}{2}$(AD – BC) = $\frac{1}{2}$(18 – 6) = 6 (cм);

AK = AD – KD = 18 – 6 = 12 (см).

∆AKC (∠K = 90°):

CK = $\sqrt{{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{AK}}^2}$ = $\sqrt{{20}^2-{12}^2}$ = $\sqrt{400-144}$ = 16 (см).

∆CKD ($\angle$K = 90°):

CD = $\sqrt{{\mathrm{CK}}^2+{\mathrm{KD}}^2}$ = $\sqrt{{16}^2}$ + 6² = $\sqrt{256+36}$ = 2$\sqrt{73}$ (см)

S_ACD = $\frac{1}{2}$CK • AD = $\frac{1}{2}$ • 16 • 18 = 144 (см²)

R = $\frac{\mathrm{AC}•\mathrm{CD}•\mathrm{AD}}{{4S}_{\mathrm{ACD}}}$ = $\frac{20•2\sqrt{73}•18}{4•144}$ = 1,25$\sqrt{73}$ (см)

C = 2$\pi$R = 2$\pi$ • 1,25$\sqrt{73}$ = 2,5$\sqrt{73}$ $\pi$ (см)

Відповідь: 2,5$\sqrt{73}$ $\pi$ см.

2) AD = 16 см; ВС = 8 см; АС = 13 см.

Розв'язання

Знайдемо R описаного кола навколо ∆ACD:

R = $\frac{\mathrm{abc}}{4S}$.

KD = $\frac{1}{2}$ (AD – BC) = $\frac{1}{2}$ (16 – 8) = 4 (см)

AK = AD – KD = 16 – 4 = 12 (см)

∆AKC ($\angle$K = 90°):

CK = $\sqrt{{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{AK}}^2}$ = $\sqrt{{13}^2-{12}^2}$ = $\sqrt{169-144}$ = 5 (см)

∆CKD ($\angle$K = 90°):

CD = $\sqrt{{\mathrm{CK}}^2+{\mathrm{KD}}^2}$ = $\sqrt{5^2+4^2}$ = $\sqrt{25+16}$ = $\sqrt{41}$ (см)

S_ACD = $\frac{1}{2}$CK • AD = $\frac{1}{2}$ • 5 • 16 = 40 (см²)

R = $\frac{\mathrm{AC}•\mathrm{CD}•\mathrm{AD}}{{4S}_{\mathrm{ACD}}}$ = $\frac{13•\sqrt{41}•16}{4•40}$ = 1,3$\sqrt{41}$ (см)

С = 2$\pi$R = 2$\pi$ • 1,3$\sqrt{41}$ = 2,6$\sqrt{41}$ $\pi$ (см)

Відповідь: 2,6$\sqrt{41}$ $\pi$ см.