Відповіді на вправи підручника: 771

771. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, якщо його діагоналі

дорівнюють: 1) 18 см і 24 см; 2) 12 см і 16 см.

У ромбі ABCD O – точка перетину діагоналей, BD ⊥ AC. MH – висота ромба, проведена через т. О. Висота МН – діаметр вписаного в ромб кола, ОН – радіус цього кола. Тоді довжина кола С = 2π • ОН або С = π • МН.

У ∆AOD (∠AOD = 90°): OH ⊥ AD.

1) Якщо АС = 24 см, BD = 18 см, то АО = $\frac{24}{2}$ = 12 (см), OD = $\frac{18}{2}$ = 9 (см). Тоді за теоремою Піфагора:

AD² = AO² + OD², AD² = 12² + 9², AD² = 144 + 81, AD² = 225,

AD = 15 см. S_ромба = $\frac{1}{2}$AC • BD, S_ромба = $\frac{1}{2}$ • 24 • 18 = 216 (см²);

S_ромба = AD • MH = 216, тоді МН = $\frac{216}{\mathrm{AD}}$, MH = $\frac{216}{15}$ = 14,4 (см). Тоді

С = π • 14,4 = 14,4π (см);

2) якщо BD = 12 см, АС = 16 см, то АО = $\frac{16}{2}$ = 8 (см), OD = $\frac{12}{2}$ = 6 (cм). Із ∆AOD: AD² = 8² + 6², AD² = 64 + 36, AD² = 100, AD = 10 см. S_ромба = $\frac{1}{2}$ • 12 • 16 = 96 (см²); S_ромба = 10 • МН = 96,

МН = $\frac{96}{10}$ = 9,6 (см). Тоді С = π • 9,6 = 9,6π (см).

Відповідь: 1) 14,4π см; 2) 9,6π см.