Відповіді на вправи підручника: 607

607. Потрібно обчислити відстань між недоступними пунктами С і D

(мал. 178). Для цього на місцевості вибрали точки А і В так, щоб

можна було виміряти відстань АВ і щоб із цих точок було видно точки С і D. Потім виміряли АВ = а, $\angle$САD = $\alpha$₁, $\angle$ВАD = $\alpha$₂, $\angle$АВС = $\beta$₂, $\angle$СВD = $\beta$₁. Поясніть, як знайти відстань СD. Обчисліть СD,

якщо а = 100 м, $\alpha$₁ = 30°, $\alpha$₂ = 70°, $\beta$₁ = 54°, $\beta$₂ = 28°.

Розв'язання

$\angle$ADB = 180° – ($\beta$₁ + $\alpha$₂ + $\beta$₂). За теоремою синусів з ∆ADB:

$\frac{\mathrm{DB}}{{\sin \alpha }_2}$ = $\frac{\mathrm{AВ}}{\sin \angle \mathrm{ADB}}$;

sin$\angle$ADB = sin 180° – ($\beta$₁ + $\alpha$₂ + $\beta$₂) = sin ($\beta$₁ + $\alpha$₂ + $\beta$₂).

DB = $\frac{a\sin {\alpha }_2}{\sin ({\beta }_1+{\alpha }_2+{\beta }_2)}$ = $\frac{100•\sin 70°}{\sin (54°+70°+28°)}$ = $\frac{100•\mathrm{0,9397}}{\mathrm{0,4695}}$ $\approx$ 200 (м).

$\angle$ACB = 180° – ($\beta$₂ + $\alpha$₁ + $\alpha$₂).

За теоремою синусів з ∆ABC: $\frac{\mathrm{CB}}{{\sin ({\alpha }_1+\alpha }_2)}$ = $\frac{\mathrm{AВ}}{\sin \angle \mathrm{ACB}}$;

sin$\angle$ACB = sin 180° – ($\beta$₂ + $\alpha$₁ + $\alpha$₂) = sin ($\beta$₂ + $\alpha$₁ + $\alpha$₂).

CB = $\frac{a•\sin ({\alpha }_1-{\alpha }_2)}{\sin ({\beta }_2+{\alpha }_1+{\alpha }_2)}$ = $\frac{100•\sin (30°+70°)}{\sin (28°+30°+70°)}$ = $\frac{100•\mathrm{0,9848}}{\mathrm{0,788}}$ $\approx$ 125 (м).

За теоремою косинусів з ∆CBD:

CD² = CB² + DB² – 2 • CB • DB • cos $\beta$₁ = 125² + 200² – 2 • 125 • 200 • cos54° = 15625 + 40000 – 50000 • 0,5878 = 55625 – 29390 =

= 26235.

CD = $\sqrt{26235}$ $\approx$ 162 (м).

Відповідь: 162 м.