Відповіді на вправи підручника: 606

606. Трапилося так, що місцевість між дорогами заболочена й виміряти відстань АВ, як у задачі 626, не можна (мал. 177). Але пункт А видно з двох місць В і В₁ на дорозі PN, а також можна підійти до пункту А. Тоді виміряли ВВ₁, $\angle$ВАМ, $\angle$АВN і $\angle$АВ₁N. Поясніть, як знайти відстань АС. Знайдіть цю відстань, якщо: ВВ₁ = а, $\angle$ВАМ = $\alpha$, $\angle$АВN = $\beta$, $\angle$АВ₁N = $\beta$₁.

Розв'язання

З ∆ACB: $\angle$C = 180° – ($\alpha$ + $\beta$).

$\angle$ABB₁ = 180° – $\beta$ – як суміжний з $\angle$АВС.

$\angle$ВАВ₁ = 180° – ($\beta$₁ + 180° – $\beta$) = $\beta$ – $\beta$₁.

За теоремою синусів з ∆АВВ₁:

$\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle A{B}_{1}B}$ = $\frac{{\mathrm{BB}}_1}{\sin \angle \mathrm{BA}{B}_1}$; $\frac{\mathrm{AB}}{\sin {\beta }_1}$ = $\frac{{\mathrm{BB}}_1}{\sin (\beta -{\beta }_1)}$.

АВ = $\frac{{\mathrm{BB}}_1•{\sin \beta }_1}{\sin (\beta -{\beta }_1)}$ = $\frac{a•\sin {\beta }_1}{\sin \left({\beta -\beta }_1\right)}$.

За теоремою синусів з ∆АСВ:

$\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{ABC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$; $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \beta }$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin (180°-(\alpha +\beta ))}$.

АС = $\frac{\mathrm{AB}•\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}$ = $\frac{a\sin {\beta }_1•\sin \beta }{\sin (\beta -{\beta }_1)•\sin (\alpha +\beta )}$.

Відповідь: $\frac{a\sin {\beta }_1•\sin \beta }{\sin (\beta -{\beta }_1)•\sin (\alpha +\beta )}$.