Відповіді на вправи підручника: 573 (1)

573. Дано дві сторони трикутника й кут між ними. Знайдіть інші два

кути і третю сторону, якщо:

1) якщо а = 6, с = 8, β = 30°, то b² = a² + c² – 2ac • cosβ,

b² = 6² + 8² – 2 • 6 • 8 • cos 30°,

b² = 36 + 64 – 2 • 48 • $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 100 – 48$\sqrt{3}$ ≈ 16,86,

b ≈ 4,1; $\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{b}{\sin \beta }$, sinα = $\frac{a\sin \beta }{b}$,

sinα ≈ $\frac{6•\sin 30°}{\mathrm{4,1}}$ = $\frac{6•\frac{1}{2}}{\mathrm{4,1}}$ = $\frac{3}{\mathrm{4,1}}$ ≈ 0,7317, α ≈ 47°; γ = 180° – (α + β),

γ = 180° – (47° + 30°) = 103°.

Відповідь: 4,1; 47°; 103°.

2) якщо b = 4, c = 5, α = 60°, то a² = b² + c² – 2bc • cos α,

a² = 16 + 25 – 2 • 4 • 5 • cos 60°,

a² = 41 – 2 • 20 • $\frac{1}{2}$ = 41 – 20 = 21, a ≈ 4,6;

$\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{b}{\sin \beta }$, sin β = $\frac{b\sin \alpha }{a}$, sin β ≈ $\frac{4•\sin 60°}{\mathrm{4,6}}$ = $\frac{4•\frac{\sqrt{3}}{2}}{\mathrm{4,6}}$ ≈ 0,7531,

β ≈ 49°; γ = 180° – (α + β), γ = 180° – (49° + 60°) = 71°.

Відповідь: 4,6; 49°; 71°.

3) a = 3, b = 2, $\gamma$= 45°; c² = a² + b² – 2ab • cos $\gamma$,

c² = 9 + 4 – 2 • 3 • 2 cos 45°,

c² = 13 – 2 • 6 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 13 – 6$\sqrt{2}$ ≈ 4,5147, c ≈ 2,1;

$\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$, sin α = $\frac{a\sin \gamma }{c}$, sin α ≈ $\frac{3•\sin 45°}{\mathrm{2,1247}}$ = $\frac{3•\frac{\sqrt{2}}{2}}{\mathrm{2,1242}}$ ≈ 0,9984,

α = 87° або 93°.

Трикутник тупокутний, α ≈ 93°; β = 180° – (93° + 45°) = 42°.